设z=f（xy，yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导，且在x=1处取得极值g（1）=1，求∂2z∂x∂y|x=1，y=1．

Question

设z=f（xy，yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导，且在x=1处取得极值g（1）=1，求(∂2z)/(∂x∂y)|_x=1，y=1．

Answer 1

(∂z)/(∂x)=f′1y+f′2yg′(x)
      (∂2z)/(∂x∂y)=[f″11x+f″12g(x)]y+f′1+[f″21x+f″22g(x)]yg′(x)+f′2g′(x)
当x=1，y=1时
xy=1，yg（x）=1
又∵g（x）可导，且在x=1处取得极值g（1）=1
∴g'（1）=0，g（1）=1
∴(∂2z)/(∂x∂y)|x=1，y=1=f′x(1，1)+f″11(1，1)+f″12(1，1)