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设D={x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f（x）为D上的正值连续函数，a，b为常数，∬Daln(1+f(x))+bln(1+f(y))ln(1+f(x))+ln(1+f(y))dσ=（）A．abπB．abπ2C．（a+b）πD．a+b2π

题目详情
设D={x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f（x）为D上的正值连续函数，a，b为常数，
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=（　　）

A．abπ
B．
abπ
2

C．（a+b）π
D．
a+b
2
π
▼优质解答
答案和解析
∵D={x2+y2≤4，x≥0，y≥0}
∴D的面积为π
∴当a=b=1时，
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=
∬
D
dσ=π
这样就排除B、C
当a=b=2时，
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=2
∬
D
dσ=2π
这样就排除A
∴只剩下D
而选项D，根据被积函数的特点，得到如下：
∵
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=
∬
D
aln(1+
f(y)
)+bln(1+
f(x)
)
ln(1+
f(y)
)+ln(1+
f(x)
)
dσ=
∬
D
aln(1+
f(y)
)+bln(1+
f(x)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ
∴
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=
1
2
[
∬
D
aln(1+
f(x)
)+bln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ+
∬
D
aln(1+
f(y)
)+bln(1+
f(x)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ]
=
a+b
2
∬
D
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
ln(1+
f(x)
)+ln(1+
f(y)
)
dσ=
a+b
2
π
故D正确
故选：D．
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