f(x)在(a,b)内连续,x1,x2∈(a,b),m1>0,m2>0,证明:在[a,b]上至少存在点ξ,使得f(ξ)=m1f(x1)+m2f(x2)/m1+m2

Question

f(x)在(a,b)内连续,x1,x2∈(a,b),m1>0,m2>0,证明:在[a,b]上至少存在点ξ,使得f(ξ)=m1f(x1)+m2f(x2)/m1+m2

Answer 1

min {f(x1),f(x2)}≤{m1f(x1)+m2f(x2)}/(m1+m2)≤max {f(x1),f(x2)}
{假如你看不懂,设f(x1)≤f(x2),则上面的式子变成
f(x1)≤{m1f(x1)+m2f(x2)}/(m1+m2)≤f(x2),如果二者关系相反不等式调过来就可以}
由连续函数的介值定理知道
在[a,b]上至少存在点ξ,使得f(ξ)={m1f(x1)+m2f(x2)}/(m1+m2)