求证:方程e^x+e^-x+2cosx=5恰有两个根

Question

求证:方程e^x+e^-x+2cosx=5 恰有两个根

Answer 1

证明：
e^x+e^(-x)+2cosx=5
设f(x)=e^x+e^(-x)+2cosx-5,定义域为实数范围R
求导：
f'(x)=e^x-e^(-x)-2sinx
再次求导：
f''(x)=e^x+e^(-x)-2cosx>=2√[(e^x)*e^(-x)]-2cosx=2-2cosx>=0恒成立
所以：f'(x)是单调递增函数
f'(x)=e^x-e^(-x)-2sinx=0最多存在一个零点
f'(0)=1-1-0=0
所以：f'(x)的零点为x=0
所以：
x0,f(x)是单调递增函数
f(0)=1+1+0-5=-30
f(4)=e^4+e^(-4)+2cos4-5>0
所以：f(x)在R上存在两个零点
所以：方程e^x+e^-x+2cosx=5 恰有两个根