x^2*e^(-x^2)从0到无穷上的积分

Question

x^2*e^(-x^2)从0到无穷上的积分

Answer 1

首先由分部积分公式
∫{0,A} x²·e^(-x²) dx = -1/2·∫{0,A} x(e^(-x²))' dx = -1/2·A·e^(-A²)+1/2·∫{0,A} e^(-x²) dx.
令A → +∞,即得∫{0,+∞} x²·e^(-x²) dx = 1/2·∫{0,+∞} e^(-x²) dx.
后者是常用结果∫{0,+∞} e^(-x²) dx = (√π)/2.
于是∫{0,+∞} x²·e^(-x²) dx = (√π)/4.
至于如何得到∫{0,+∞} e^(-x²) dx = (√π)/2,常用的办法是用二重积分:
∫{0,+∞} e^(-x²) dx = 1/2·∫{-∞,+∞} e^(-x²) dx.
(∫{-∞,+∞} e^(-x²) dx)² = (∫{-∞,+∞} e^(-x²) dx)·(∫{-∞,+∞} e^(-y²) dy)
= ∫∫{R²} e^(-x²-y²) dxdy
= ∫∫{R²} e^(-r²) rdrdθ
= ∫{0,2π} dθ ∫{0,+∞} re^(-r²) dr
= π.
于是∫{0,+∞} e^(-x²) dx = 1/2·∫{-∞,+∞} e^(-x²) dx = (√π)/2.