求定积分∫e^2xcosxdx.

Question

求定积分∫e^2xcosxdx.

Answer 1

∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx

＝ ∫(0→π/2) e^(2x) d(sinx)

＝ e^(2x)sinx|(0→π/2) － ∫(0→π/2)sinxde^(2x)

＝ e^π·sin(π/2)－0－2 ∫(0→π/2) e^(2x) sinx dx

＝ e^π ＋ 2 ∫(0-π/2) e^(2x) d(cosx)

＝ e^π ＋ 2 [e^(2x)cosx|(0→π/2)－∫(0-π/2) cosx d e^(2x)]

＝ e^π ＋ 2 e^π · cos(π/2)－2 e^0· cos0－ 4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx

＝ e^π－2－4 ∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx

∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx ＝ e^π－2－4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx

∴ 5 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx ＝ e^π－2

∴ ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx ＝ (e^π－2)/5

整体的思路,就是分部积分.

然后获得左右两边都有∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx 的等式,然后解出∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx

挺麻烦的