（2014•大连一模）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE．（1）求证：∠AFB与∠BAC互补；（2）图1中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找

Question

（2014•大连一模）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE．
（1）求证：∠AFB与∠BAC互补；
（2）图1中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由．
（3）若将“AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上”改为“AB=kAC，点D在BC的延长线上，点E、F分别在DA和DA的延长线上”，其他条件不变（如图2）．若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF的长（用含k和α的式子表示）．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵BF∥CE，
∴∠AFB=∠CEF．
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC=∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补．
∴∠AFB与∠BAC互补．
（2）存在，CE=AF．
证明：在AF上取一点G，使AG=BF，如图1．
∵∠AFB+∠BAF+∠CAF=∠AFB+∠BAC=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠CAF．
在△ABF和△CAG中，

AB＝AC

∠ABF＝∠CAG

BF＝AG

，
∴△ABF≌△CAG（SAS）． 
∴AF=CG，∠AFB=∠CGA．
又∵∠AFB=∠CEF，
∴∠CGA=∠CEF．
∴CE=CG．
∴CE=AF．
（3）作∠GBA=∠EAC，点G在DA的延长线上，如图2．
∵∠AEC=∠BAC，
∠GAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∠ECA+∠AEC+∠EAC=180°，
∴∠GAB=∠ECA．
∵∠GBA=∠EAC，∠GAB=∠ECA，
∴△GBA∽△EAC．
∴(AG)/(CE)＝(AB)/(AC)＝k，∠BGA=∠AEC=∠BAC=α．
∴AG=kCE．
∵BF∥CE，
∴∠BFG=180°-∠FEC=180°-∠BGA=∠BGF，
∴BG=BF．
作BH⊥FG，垂足为H，如图2，
∵BG=BF，BH⊥FG，
∴GH=FH．
∴GF=2FH．
在Rt△BHF中，cos∠BFG=(FH)/(BF)，
∴FH=BF•cos∠BFG．
∵CE=1，BF=3，∠BAC=α，
∴AF=AG+GF
=AG+2FH
=kCE+2BFcos∠BFG
=k+6cos（180°-α）．
∴AF的长为k+6cos（180°-α）．