设n（n≥2）阶矩阵A满足（E-A）（E+A）=O，其中E为n阶单位矩阵，若已知E+A的秩r（E+A）=r，1≤r＜n（Ⅰ）问矩阵A是否可对角化，为什么？（Ⅱ）设t为常数，求行列式|A+tE|的值．

Question

设n（n≥2）阶矩阵A满足（E-A）（E+A）=O，其中E为n阶单位矩阵，若已知E+A的秩r（E+A）=r，1≤r＜n
（Ⅰ）问矩阵A是否可对角化，为什么？
（Ⅱ）设t为常数，求行列式|A+tE|的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由n（n≥2）阶矩阵A满足（E-A）（E+A）=O，知r（E-A）+r（E+A）≤n，
又（E-A）+（E+A）=2E，因此
r（E-A）+r（E+A）≥r（2E）=n，
故r（E-A）+r（E+A）=n，
而1≤r（E+A）=r＜n，则
1≤r（E-A）=n-r＜n，
而由（E-A）（E+A）=O，得A²=E，因而
A的特征值只有1和-1
所以A有特征值-1，属于-1有n-r个线性无关的特征向量，
A有特征值1，属于1有r个线性无关的特征向量，
于是n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，可对角化．
（Ⅱ）有（Ⅰ）知，A+tE有n-r重特征值t-1，有r重特征值t+1，
故|A+tE|=（t-1）^n-r（t+1）^r