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如图,∠MBN的两边BM,BN上分别有两点A、C,满足BC=2BA,作▱ABCD,取AD的中点E,作CF⊥CD,CF与AB所在的直线交于点F.(1)当∠B=90°时,直接写出∠DEF的度数;(2)在射线BM绕B点旋转的过程中

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如图,∠MBN的两边BM,BN上分别有两点A、C,满足BC=2BA,作▱ABCD,取AD的中点E,作CF⊥CD,CF与AB所在的直线交于点F.
(1)当∠B=90°时,直接写出∠DEF的度数;
(2)在射线BM绕B点旋转的过程中,若∠B=x°,∠DEF=y°(0°<x<180°,0°<y<180°),求:y关于x的函数解析式及相应自变量x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
在▱ABCD中,AD=BC.
(1)如图1,当∠B=90°时,▱ABCD是矩形,则点F与点B重合.
∵BC=2BA,点E是AD的中点.
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴∠DEF=180°-∠AEB=135°,即∠DEF=135°;

(2)对∠B的大小分四种情况讨论如下:
①当60°<∠B≤90°时,点F在线段AB上,如图2,连接BE并延长与CD的延长线交于点G,记∠AFE=α.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∠3=∠B=x°.
∴∠DGE=∠AFE=α.
可得△AEF≌△DEG.
∴EF=EG,CE为Rt△CFG斜边的中线.
∴EF=EG,∠1=∠G=α.
∵BC=2AB,
∴2DE=2CD,DE=CD.
∴等腰三角形△CDE中,∠1=
180°−∠3
2
=90°-
x
2
=α.
∴∠DEF=180°-∠2=180°-(∠3-∠G)=180°-(x-α)=270°-
3x
2
.            
由(1)知,当∠B=90°时,点F与点B重合,
此时∠DEF=135°,270°-
3x
2
=270°-
3
2
×90°=135°,
所以y=270°-
3x
2
仍成立;

②当∠B=60°时,点F与点A重合,∠DEF=180°不合题意(如图3).

③当90°<∠B<180°时,点F在线段AB的延长线上(如图4).与①同理可得270°-
3x
2
仍成立;

④当0°<∠B<60°时,点F在线段BA的延长线上(如图5).
与①同理可得CE为Rt△CFG斜边的中线,EC=EG,DE=CD.
∴△CEG和△CDE为等腰三角形.
在等腰三角形△CEG中,∠1=180°-2∠2,
在等腰三角形△CDE中,∠CED=∠2=
180°−∠D
2
=
180°−x
2

∴∠DEF=180°-∠3=180°-(∠CED-∠1)=360°-3∠2=90°+
3
2
x.
综合上述:当0°<∠B<60°时,y=90°+
3
2
x.
当60°<∠B<180°时,y=270°-
3
2
x.