积分∫e^(-x^2)dx上限+∞下限-∞要如何求出解为√π希望能有计算过程

Question

积分∫e^(-x^2)dx 上限+∞ 下限-∞ 要如何求出解为√π 希望能有计算过程

Answer 1

知道里之前有人问过这个

∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy
而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
然后是用极坐标换元,x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大),a属于[0,2π]
=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大),a属于[0,2π])
=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大),
=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大),
=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大),
=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大
=π*(1-0)
=π
∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2
易知∫e^(-x^2)dx>0
所以∫e^(-x^2)dx=√π