如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）BH=AC；（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．

Question

如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．

（1）∠DBH=∠DAC；
（2）BH=AC；
（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．

Answer 1

（1）∵AD，BE是△ABC的高
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°
∴∠DBH=∠DAC；
（2）由（1）题已得∠DBH=∠DAC，
∵在△BDH和△ADC中，

∠BDH＝∠ADC

BD＝AD

∠DBH＝∠DAC

，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；

（3）由（2）题已证△BDH≌△ADC，
∴HD=DC（设长度为x）
设AD=BD=y，
∵BC=14，AH=2，AC=10
∴x+y=14，y-x=2．
解得x=6，y=8，
∵(1)/(2)×AC×BE=(1)/(2)×BC×AD，
∴10×BE=14×8，
解得BE=11.2，
∴HE=BE-BH=11.2-10=1.2．