（2012•长宁区一模）跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，身体笔直且与水面垂直．假设运动员的质量m=50kg，其体型可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力．运动员

Question

（2012•长宁区一模）跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，身体笔直且与水面垂直．假设运动员的质量m=50kg，其体型可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力．运动员落水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随落水深度Y变化的函数曲线如图所示． 该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和Of重合．运动员入水后受到的浮力F=ρgV （V是排开水的体积）是随着入水深度线性增加的．已知椭圆的面积公式是S=πab，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³，g取10m/s²．
试求：
（1）运动员刚入水时的速度；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功；
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于多少？

Answer 1

（1）运动员刚入水时的速度为：
  v＝√(2gH)＝√(2×10×10)＝10√(2)m/s
（2）浮力做功分为两个阶段，运动员进入水面为第一阶段，水的浮力线性增加，其做功为：
  WF1＝−(0+ρgV)/(2)L=−(1)/(8)πρd2L2g
代入解得  W_F1=-353.25 J      
（3）设水深为h，第二阶段浮力是恒力，其所做的功WF2＝−ρ(1)/(4)πd2Lg(h−L)
水的阻力做功为图中曲线与横轴所围的面积：Wf＝−(1)/(4)π(5)/(2)mgh=−(5)/(8)πmgh
运动员的始、末状态的速度均为零，对整个过程应用动能定理：
  W_G+W_F1+W_F2+W_f=0 
又 W_G=mg（H+h）
联立得 mg(H+h)−(1)/(8)πρL2d2g−(1)/(4)πρLd2g(h−L)−(5)/(8)πmgh=0，
代入数据解得至少水深为  h=4.51m             
答：
（1）运动员刚入水时的速度为10√(2)m；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功为353.25 J
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于4.51m．