一个顶角为2w,高为H的圆锥形地下储水池,装满了密度为p的一种液体,若将全部液体从顶口抽出,至少需要做功多少?望知道的能说出答案的步骤,但答案上没积分,步骤上有没什么的，偶学过的，

Question

一个顶角为2w,高为H的圆锥形地下储水池,装满了密度为p的一种液体,若将全部液体从顶口抽出,至少需要做功多少?
望知道的能说出答案的步骤,
但答案上没积分,步骤上有没什么的，偶学过的，
你辛苦了。你再好好想想，这个题书上给出的答案是(1/4)(pai)pg(tanw)^(h^4) 你再想想。

Answer 1

最简单的积分题~就是不知道让不让用~
微元法
取距圆锥顶点竖直距离为x,厚度为dx的一薄层水柱,将此水柱中的水全部抽出,须做功：dw= dm*g(h-x)= pg*(h-x)(pai)(x*tanw)^*dx= (pai)pg(tanw)^*(h-x)x^dx
其中pai圆周率,p水密度,^平方算符
将上式左右同时积分（相当于小量求和）即得：
W= (pai)pg(tanw)^* x从0到h积分[(h-x)x^dx]= (pai)pg(tanw)^*(h^4/12)
所以答案W= (1/12)(pai)pg(tanw)^(h^4)
ps：答案是(1/4)(pai)pg(tanw)^(h^4)?
圆锥形地下储水池...难道锥角是朝上的!有图吗?
上面的结果我是按锥角朝下算的~如果锥角是朝上的,那就把解题过程中的(h-x)全部换成x：最后的W就是：
W= (pai)pg(tanw)^* x从0到h积分(x^3*dx)= (pai)pg(tanw)^*(h^4/4)= (1/4)(pai)pg(tanw)^(h^4)
这就没错了~
但如果原题中锥角是朝下的,那基本就是答案错了~
分析如下：
圆锥体积= (1/3)对应圆柱体积.所以储水池内水重G= (1/3)pgh(pai)(htanw)^= (1/3)(pai)pg(tanw)^*h^3
由于锥角朝下,下窄上宽,重心离地面的距离d< h/2
将全部的水从储水池里抽出总功W= Gd< (1/6)(pai)pg(tanw)^(h^4)
而题目给出的答案W= (1/4)(pai)pg(tanw)^(h^4)> (1/6)(pai)pg(tanw)^(h^4) !这不可能~
所以如果不是锥角朝上的话多半是答案错了~