假设随机变量Y服从参数λ=1的指数分布，随机变量Xk=0，若Y≤k1，若Y＞k(k＝1，2)．（1）求X1和X2的联合概率分布；（2）求E（X1+X2）．

Question

假设随机变量Y服从参数λ=1的指数分布，随机变量X_k=

0，若Y≤k

1，若Y＞k

(k＝1，2)．
（1）求X₁和X₂的联合概率分布；
（2）求E（X₁+X₂）．

Answer 1

（1）
∵随机变量Y服从参数λ=1的指数分布，
∴Y的分布函数为：F_Y（y）=

1−e−y	，y＞0
0	，y≤0

，
由于随机变量X_k=

0，若Y≤k

1，若Y＞k

（k=1，2），
从而，（X₁，X₂）的可能取值为：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），
有：
P{X₁=0，X₂=0}=P{Y≤1，Y≤2}=P{Y≤1}=F_Y（1）=1-(1)/(e)，
P{X₁=0，X₂=1}=P{Y≤1，Y＞2}=P{Y=∅}=0，
P{X₁=1，X₂=0}=P{Y＞1，Y≤2}=P{1＜Y≤2}=F_Y（2）-F_Y（1）=e^-1-e^-2，
P{X₁=1，X₂=1}=P{Y＞11，Y＞2}=P{Y＞2}=1-F_Y（2）=e^-2，
于是，得到X₁和X₂的联合概率分布列：

X1   X2	0	1
0	1-e-1	e-1-e-2
1	0	e-2

（2）
由（1）求得的X₁和X₂的联合概率分布列，
可知：X₁和X₂服从0-1分布，
即：X_k～

0	1
P(Y≤k)	P(Y＞k)

＝

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