如图,两个正方形ABCD和AEFG共顶点A,连BE,DG,CF,AE,BG,K,M分别为DG和C的中点,KA的延长线交BE于H,MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN,④四边形AKMN为平行四边形．

Question

如图,两个正方形ABCD和AEFG共顶点A,连BE,DG,CF,AE,BG,K,M分别为DG和C
的中点,KA的延长线交BE于H,MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN,④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（　　）
A、③④B、①②③
C、①②④D、①②③④

Answer 1

由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB,
∴BG=DE,∠ADE=∠ABG,
∴可得BG与DE相交的角为90°,
∴BG⊥DE．①正确；
如图,延长AK,使AK=KQ,连接DQ、QG,
∴四边形ADQG是平行四边形；
作CW⊥BE于点W,FJ⊥BE于点J,
∴四边形CWJF是直角梯形；
∵AB=DA,AE=DQ,∠BAE=∠ADQ,
∴△ABE≌△DAQ,
∴∠ABE=∠DAQ,
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．
∴△ABH是直角三角形．
易证：△CWB≌△BHA,△EJF≌△AHE；
∴WB=AH,AH=EJ,
∴WB=EJ,
又WN=NJ,
∴WN-WB=NJ-EJ,
∴BN=NE,③正确；
∵MN是梯形WGFC的中位线,WB=BE=BH+HE,
∴MN=1/2（CW+FJ）=1/2WB=1/2（BH+HE）=1/2BE
易证：△ABE≌△DAQ（SAS）

∴AK=1/2AQ=1/2BE

∴MN∥AK且MN=AK；
四边形AKMN为平行四边形,④正确．
S_△ABE=S_△ADQ=S_△ADG=1/2S_{▱ADQG,②正确}．
所以,①②③④都正确；
故选D．