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已知函数f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5(k∈R)(1)对任意k∈(-1,1),不等式f(x)<0恒成立,求x的取值范围;(2)若函数在区间(0,2)内有零点,求k的取值范围.
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已知函数f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5(k∈R)
(1)对任意k∈(-1,1),不等式f(x)<0恒成立,求x的取值范围;
(2)若函数在区间(0,2)内有零点,求k的取值范围.
(1)对任意k∈(-1,1),不等式f(x)<0恒成立,求x的取值范围;
(2)若函数在区间(0,2)内有零点,求k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5,(k∈R),
∴设g(k)=(2x+1)k+3x2-2x+5,k∈(-1,1);
∴
;
即
,
解得x∈∅,
∴x的取值范围是∅;
(2)∵函数f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5在区间(0,2)内有零点,
等价于方程3x2+2(k-1)x+k+5=0在区间(0,2)内有实数根,
则(i)判别式△=4(k-1)2-12(k+5)=0时,得k=7或k=-2,
此时方程的根分别是k=7时,根是x1=x2=-2;
k=-2时,根是x1=x2=1;
∵方程在(0,2)内有实数根,∴k=-2(k=7舍去);
(ii)判别式△>0时,则k>7或k<-2,
①若两根都在(0,2)内,则对称轴x=-
在(0,2)内,f(0)>0、f(2)>0,
即
;
解得
;
∴-
<k<-2;
②若方程在(0,2)内存在一个根,则f(0)•f(2)<0,
解得-5<k<-
;
(iii)当f(2)=0时,即12+4(k-1)+k+5=0,k=-
,
此时f(0)=k+5=
>0,∴k=-
符合题意;
当f(0)=k+5=0时,k=-5,此时f(2)=12+4(k-1)+k+5=-12<0,不符合题意,舍去;
∴k=-
;
综上,k的取值范围是{k|-5<k≤-2}.
∴设g(k)=(2x+1)k+3x2-2x+5,k∈(-1,1);
∴
|
即
|
解得x∈∅,
∴x的取值范围是∅;
(2)∵函数f(x)=3x2+2(k-1)x+k+5在区间(0,2)内有零点,
等价于方程3x2+2(k-1)x+k+5=0在区间(0,2)内有实数根,
则(i)判别式△=4(k-1)2-12(k+5)=0时,得k=7或k=-2,
此时方程的根分别是k=7时,根是x1=x2=-2;
k=-2时,根是x1=x2=1;
∵方程在(0,2)内有实数根,∴k=-2(k=7舍去);
(ii)判别式△>0时,则k>7或k<-2,
①若两根都在(0,2)内,则对称轴x=-
k−1 |
3 |
即
|
解得
|
∴-
13 |
5 |
②若方程在(0,2)内存在一个根,则f(0)•f(2)<0,
解得-5<k<-
13 |
5 |
(iii)当f(2)=0时,即12+4(k-1)+k+5=0,k=-
13 |
5 |
此时f(0)=k+5=
12 |
5 |
13 |
5 |
当f(0)=k+5=0时,k=-5,此时f(2)=12+4(k-1)+k+5=-12<0,不符合题意,舍去;
∴k=-
13 |
5 |
综上,k的取值范围是{k|-5<k≤-2}.
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