设三元线性方程组Ax=b，A的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=（2，0，4）T，η1+η3=（1，-2，1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（）A．（1，0，2）T+k（1，-2，1）TB．（1，-2，

Question

设三元线性方程组Ax=b，A的秩为2，η₁，η₂，η₃为方程组的解，η₁+η₂=（2，0，4）^T，η₁+η₃=（1，-2，1）^T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（　　）

A．（1，0，2）^T+k（1，-2，1）^T
B．（1，-2，1）^T+k（2，0，4）^T
C．（2，0，4）^T+k（1，-2，1）^T
D．（1，0，2）^T+k（1，2，3）^T

Answer 1

∵A的秩为2，而Ax=b是三元线性方程组
∴AX=0的基础解系只有一个解向量
又η₁，η₂，η₃为方程组的解，且η₁+η₂=（2，0，4）^T，η₁+η₃=（1，-2，1）^T，
∴η₂-η₃=（η₁+η₂）-（η₁+η₃）=（1，2，3）^T是AX=0的解向量，从而是AX=0的一个基础解系．
而(1)/(2)A(η1+η2)＝b，即(1)/(2)(η1+η2)是Ax=b的解向量，
即（1，0，2）^T是Ax=b的解向量
∴方程组Ax=b的通解可表示为（1，0，2）^T+k（1，2，3）^T
故选：D．