圆锥曲线问题,抛物线的已知抛物线y²=4px（P＞0）的焦点在直线l：X-MY-P²=0上.1.求抛物线方程2.设直线l与抛物线交于A和B,求M的取值范围,使得在抛物线上的点M,满足MA⊥MB第一题我求出来是

Question

圆锥曲线问题,抛物线的
已知抛物线y²=4px（P＞0）的焦点在直线l：X-MY-P²=0上.
1.求抛物线方程
2.设直线l与抛物线交于A和B,求M的取值范围,使得在抛物线上的点M,满足MA⊥MB
第一题我求出来是Y²=2X,第二题我联立以后,设AB分别为（X1,Y1）（X2,Y2）,但是M点怎么设?M点是在抛物线上的

Answer 1

抛物线开口向右的标准方程为【y²＝2px,p＞0】,焦点的坐标为（½p,0).
所以,你的题目里的焦点就是（p,0).
将它代入直线方程,有p－m*0－p²＝0,∴p=0（舍去）,p=1.答：抛物线方程为y²＝4x.
从而,直线方程为x－my－1＝0.
直线l与抛物线交于A和B,则应将抛物线与直线联立,y²－4my－4=0,让判别式＞0.得到m∈R.
答：m可取任一个实数.
由平面几何知识,以AB为直径圆,圆周角是直角.所以,让圆与抛物线联立,求出两个交点,都是所需要的点M.【或者,先设出M（x,y),令直线MA与直线MB斜率之积为负1.一回事,都一样】.
设A,B分别为（X1,Y1）（X2,Y2）,则抛物线y²＝4x与直线x－my－1＝0联立,
得到y²－4my－4=0,∴Y1*Y2＝－4,Y1＋Y2＝4m.
Y1－Y2＝±√﹛(Y1+Y2)²－4Y1Y2﹜＝±√﹛16m²+16﹜＝±4√(m²＋1).
X1＝mY1＋1,X2＝mY2＋1.
相减有 X1－X2＝m(Y1－Y2)＋2,
X1*X2＝m²Y1Y2＋m(Y1+Y2)＋1.
将以AB为直径圆的方程,与抛物线联立即得.