圆锥曲线若直线y=x-b与抛物线y2=2px(p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90°②若b=p,则∠AOB为锐角③若b=p/2,则y1y2=-p^2④若b=p/2,则x1x2=-p^2,其

Question

圆锥曲线
若直线y=x-b与抛物线y2=2px (p>0)相交于不同两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,o为坐标原点,给出下列4个命题：①若b=2p,则∠AOB=90° ②若b=p,则∠AOB为锐角 ③若b=p/2,则y1 y2=-p^2 ④若b=p/2,则x1 x2=-p^2,其中真命题是_____________

Answer 1

①③正确
①若b=2p,y=x-2p,x=y+2p与y²=2px 联立得：y²-2py-4p²=0（#）
y₁y₂=-4p²,x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=4p²
向量OA·向量OB=x₁x₂+y₁y₂=0,则∠AOB=90°
∴①正确
②b=p ,(#)y²-2py-2p²=0（#）
那么 将y₁y₂=-2p²,x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=p²
向量OA·向量OB=x₁x₂+y₁y₂=-p²90°
②错误
③b=p/2,（#）为y²-2py-p²=0
y₁y₂=-p²,③ 正确
④在③ x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=p²/4
④错误