Sn是等比数列{an}的前n项和，对于任意正整数n，恒有Sn＞0，则等比数列{an}的公比q的取值范围为．

Question

S_n是等比数列{a_n}的前n项和，对于任意正整数n，恒有S_n＞0，则等比数列{a_n}的公比q的取值范围为______．

Answer 1

q≠1时，有S_n=(a1(1−qn))/(1−q)
∵S_n＞0，∴a₁＞0，
则(1−qn)/(1−q)＞0恒成立，
（1）当q＞1时，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，显然成立，
（2）当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立，
当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立，
当q＜-1时，当n为偶数时，1-qⁿ＞0不成立，
当q=-1时，显然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）．