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如图,P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个顶点A、B、C、D出发,以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动,其终点分别是B、C、D、A.(1)不管滚动时间多长,求证:连接四个小球所
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如图,P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个顶点A、B、C、D出发,以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动,其终点分别是B、C、D、A.
(1)不管滚动时间多长,求证:连接四个小球所得到的四边形PQRS总是正方形.
(2)这个四边形在什么时候面积最大?
(3)在什么时候这个四边形的面积为原正方形面积的一半,请说明理由.
(1)不管滚动时间多长,求证:连接四个小球所得到的四边形PQRS总是正方形.
(2)这个四边形在什么时候面积最大?
(3)在什么时候这个四边形的面积为原正方形面积的一半,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:根据题意得:AP=BQ=CR=DS,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴BP=CQ=DR=AS,在△ASP和△BPQ和△CQR和△DRS中,
,
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS(SAS),
∴SP=PQ=QR=RS,∠APS=∠PQB,
∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°,
∴∠SPQ=90°,
∴四边形PQRS为正方形;
(2) 根据题意得:当P与顶点B重合时,面积最大,此时S正方形PQRS=S正方形ABCD.
(3) P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点时,四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半.理由如下:
设正方形ABCD的边长为a,AP=BQ=CR=DS=x,正方形PQRS的面积为y,
则BP=CQ=DR=AS=a-x,
根据勾股定理得:y=PS2=AP2+AS2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2,
即y是x的二次函数,
∵2>0,
∴y有最小值,
当x=
时,y=
a2,
即AP=
时,四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半,
此时,P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴BP=CQ=DR=AS,在△ASP和△BPQ和△CQR和△DRS中,
|
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS(SAS),
∴SP=PQ=QR=RS,∠APS=∠PQB,
∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°,
∴∠SPQ=90°,
∴四边形PQRS为正方形;
(2) 根据题意得:当P与顶点B重合时,面积最大,此时S正方形PQRS=S正方形ABCD.
(3) P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点时,四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半.理由如下:
设正方形ABCD的边长为a,AP=BQ=CR=DS=x,正方形PQRS的面积为y,
则BP=CQ=DR=AS=a-x,
根据勾股定理得:y=PS2=AP2+AS2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2,
即y是x的二次函数,
∵2>0,
∴y有最小值,
当x=
a |
2 |
1 |
2 |
即AP=
a |
2 |
此时,P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点.
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