椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上点P到点Q(0,3/2)的最大距离为根号7,离心率为根号3/2,(1)求此椭圆方程(2)若M,N为椭圆上关于原点对称的两点,A为椭圆上异于M,N的一点,且AM,AN都不垂直于x轴,求Kam*Kan

Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上点P到点Q(0,3/2)的最大距离为根号7,离心率为根号3/2,
(1)求此椭圆方程
(2)若M,N为椭圆上关于原点对称的两点,A为椭圆上异于M,N的一点,且AM,AN都不垂直于x轴,求Kam*Kan

Answer 1

（1)e=√3/2=c/a; 所以c²=3a²/4; b2=a²/4
即a=2b;椭圆方程可表示为：x²+4y²=4b²;
设P(x,y)为椭圆上的点,则：x²=4(b²-y²)
所以|PQ|²=(x-0)²+(y-3/2)²=x²+y²-3y+9/4=4b²-3y²-3y+9/4
=-3(y+½)²+4b²+4
当y=-½时,|PQ|²取到最大值4b²+4=(√7)²; 所以b²=3/4
a²=3,椭圆为：x²/9+y²/(¾)=1
(2)设M（x,y),N(-x,-y),A(p,q)
则：x²+4y²=9; p²+4q²=9;所以：x²-p²+4(y²-q²)=0;
(y²-q²)/(x²-p²)=-¼
又因为K(AM)=(y-q)/(x-p)
K(AN)=(-y-q)/(-x-p)=(y+q)/(x+p)
所以K(AM)K(AN)=(y²-q²)/(x²-p²)=-¼