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如图,已知△ABC中,AB>AC,BE、CF都是△ABC的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP、AQ、QP,求证:(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.

题目详情
如图,已知△ABC中,AB>AC,BE、CF都是△ABC的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP、AQ、QP,求证:

(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵BE、CF都是△ABC的高,
∴∠AFC=∠AFQ=∠AEB=90°.
∴∠BAC+∠ABE=90°,∠BAC+∠ACF=90°,
∴∠ABE=∠ACF.
在△ABP和△QCA中
AB=QC
∠ABE=∠ACF
BP=CA

∴△ABP≌△QCA(ASA),
∴AP=QA;
(2)∵△ABP≌△QCA,
∴∠BAP=∠CQA.
∵∠CQA+∠FAQ=90°,
∴∠BAP+∠FAQ=90°,
即∠PAQ=90°,
∴AP⊥AQ.