若实数x,y,z满足（x-z）^2-4(x-y)(y-z)=0,则x,y,z之间的关系是怎样的

Question

若实数x,y,z满足（x-z）^2-4(x-y)(y-z)=0,则x,y,z之间的关系是怎样的

Answer 1

首先x-z就是x-y加上y-z,不妨设a=x-y,b=y-z.这道题就是(a+b)²-4ab=0,也就是a²+b²-2ab=0就是(a-b)²=0,那只能a-b=0,a=b,按照x、y、z来说,是x-y=y-z,也就是x+z=2y的关系（用文字你可以说成y是x、z的等差中项；x、y、z依次成等差数列；y是x和z的算术平均数等等）.
上面的过程楼主看懂了吧?问题重点不在于上面的过程,而是怎么想到要用上面的方法.这个我不是太好说,因为我经历了中学,做了不少题,有些东西有感觉了.比如看到这个形式（x-z）^2-4(x-y)(y-z),是一个平方减去4倍两个数相乘等于0,那可以整体除以4,变成一个数一半的平方,减去两个数等于0.一个数一半的平方和两个数乘积的形式,我们就学过平均值不等式(a+b/2)²-ab≥0,就想到那个数会不会是后面两个数相加呢?一看果然是,这就是平均值不等式等号成立的情况,得出a=b的结果.楼主多做一点题慢慢积累像这样的题就很容易看出来.当然也可以硬生生打开,分解因式做,也能做到相同结果,不过麻烦一些.