如题.已知x+y+z=3,且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0,求证：x,y,z中至少有一个为1.注意是求证x,y,z中至少有一个为1

Question

如题.
已知x+y+z=3,且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0,求证：x,y,z中至少有一个为1.
注意是求证x,y,z中至少有一个为1

Answer 1

方法1
证明：由x+y+z=3可知（x-1）+（y-1）+（z-1）=0.
∴（x-1）3+（y-1）3+（z-1）3=3（x-1）（y-1）（z-1）=0
∴ x=1或y=1或z=1
即x、y、z中至少有一个等于1.
方法2
根据题目的意思 (x-1)+(y-1)+(z-1) = 0 设 a=x-1,b=y-x,c=z-1 所以 a+b+c=0 a^3+b^3+c^3=0 所以 a+b=-c a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3 =-c*(a^2-ab+b^2)+c^3 =c*(c^2-a^2-b^2+ab) =c*[(a+b)^2-a^2-b^2+ab] =3abc 所以 3abc=0 显然,a、b、c中必然有一个为0