设z=z（x，y）是由方程x2+y2-z=φ（x+y+z）所确定的函数，其中φ具有2阶导数且φ′≠-1时，求：（1）dz；（2）记u(x，y)＝1x−y(∂z∂x−∂z∂y)，求∂u∂x．

Question

设z=z（x，y）是由方程x²+y²-z=φ（x+y+z）所确定的函数，其中φ具有2阶导数且φ′≠-1时，求：
（1）dz；
（2）记u(x，y)＝(1)/(x−y)((∂z)/(∂x)−(∂z)/(∂y))，求(∂u)/(∂x)．

Answer 1

（1）对方程x²+y²-z=φ（x+y+z）两边求微分得：
2xdx+2ydy-dz=φ'（x+y+z）•（dx+dy+dz），
即（φ'+1）dz=（-φ'+2x）dx+（-φ'+2y）dy
∴dz＝((−φ′+2x)dx+(−φ′+2y)dy)/(φ′+1)（∵φ'≠-1）
（2）由（1）知
(∂z)/(∂x)＝(−φ′+2x)/(φ′+1)，(∂z)/(∂y)＝(−φ′+2y)/(φ′+1)
∴u(x，y)＝(1)/(x−y)((∂z)/(∂x)−(∂z)/(∂y))
=(1)/(x−y)((−φ′+2x)/(φ′+1)−(−φ′+2y)/(φ′+1))
=(1)/(x−y)•(−2y+2x)/(φ′+1)
=(2)/(φ′+1)
∴(∂u)/(∂x)＝−(2)/((φ′+1)2)(∂φ′(x+y+z))/(∂x)
=(−2φ″(1+(∂z)/(∂x)))/((φ′+1)2)＝−(2φ″(1+(2x−φ′)/(1+φ′)))/((φ′+1)2)
=−(2φ″(1+φ′+2x−φ′))/((φ′+1)3)＝−(2φ″(1+2x))/((φ′+1)3)．