把直线{3x+2y+z-2=0x+2y+3z+2=0表示为参数式和对称式方程

Question

把直线{3x+2y+z-2=0 x+2y+3z+2=0 表示为参数式和对称式方程

Answer 1

化为对称式有两个种方法,一是在直线上取两点,求方向向量；一是利用平面的法向量.
方法一：在直线上取两点 P（1,0,-1）,Q（2,-2,0）,因此方向向量为 PQ=（1,-2,1）,
因此直线方程为 (x-1)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1 ,
令比例为 t ,则可得参数式｛x=t+1 ；y= -2t ；z=t-1 .
方法二：两平面的法向量分别为 n1=（3,2,1）,n2=（1,2,3）,
因此交线的方向向量为 v=n1×n2=（4,-8,4）,
由于直线过点 P（1,0,-1）,所以直线方程为 (x-1)/4=(y-0)/(-8)=(z+1)/4 ,
令比例为 t ,可得 ｛x=4t+1 ；y= -8t ,z=4t-1 .