若n属于N,n≥z,求证:1/2-1/n-1小于1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1-1/n

Question

若n属于N,n≥z,求证:1/2-1/n-1小于1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1-1/n

Answer 1

这种题是用放缩法的典型题,不过一般的问题都是求证:1/2-1/n+1小于1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1-1/n,但这道题还是可以解出来.
1/2^2+1/3^2+.+1/n^2的通式是1/k^2,
因为1/k（k+1）小于1/k^2小于1/k（k-1)
即
1/2^2+1/3^2+.+1/n^2大于1/(2*3)+1/(3*4)+.+1/n*(n+1)
1/(2*3)+1/(3*4)+.+1/n*(n+1)等于（1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.(1/n+1/(n+1))等于1/2-1/n+1
因为1/2-1/n-1小于1/2-1/n+1
所以1/2-1/n-1小于1/2^2+1/3^2+.+1/n^2
同理因为1/k^2小于1/k（k-1)
即1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1/（2*1）+1/(3*2)+.1/n(n+1)
1/（2*1）+1/(3*2)+.1/n(n+1)=(1-1/2）+（1/2-1/3）+.+(1/n-1 -1/n)=1-1/n
所以1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1-1/n
综上1/2-1/n-1小于1/2^2+1/3^2+.+1/n^2小于1-1/n