关于x,y,z的方程组3x+2y+z=axy+2yz+3zx=6该方程组有实数解(x,y,z）,求正实数a的最小值

Question

关于x,y,z的方程组3x+2y+z=a
xy+2yz+3zx=6
该方程组有实数解(x,y,z）,求正实数a的最小值

Answer 1

3x+2y=a-z.①
xy+2yz+3zx=6.②
由②得：xy+z(2y+3x)=6.③
①代入③,得：xy+z(a-z)=6,
即：(3x)(2y)=36-6z(a-z).④
由①④知,3x、2y是下面关于A的方程的两个根：
A^2-(a-z)A+[36-6z(a-z)]=0,
∴Δ＝(a-z)^2-4[36-6z(a-z)]≥0,
整理得：23z^2-22az+(144-a^2)≤0.
由条件,存在实数z使上式成立,故
判别式(-22a)^2-4*23(144-a^2)≥0,
即：a^2≥23.
∴正实数a的最小值是√23.