设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}证明：（1）sup（A+B）=supA+supB（2）inf（A+B）=infA+infB

Question

设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}
证明：（1）sup（A+B）=supA+supB（2）inf（A+B）=infA+infB

Answer 1

证明：（1） 对任意的z∈A+B,则z=x+y,x∈A,y∈B,且x≤supA,y≤supB,
所以z=x+y≤supA+supB即supA+supB是A+B的一个上界,
故sup(A+B)≤supA+supB;
对于任意的t>0,存在a∈A,b∈B,使得a>supA-t/2,b>supB-t/2,
有c=a+b>supA+supB-t,所以supA+supB是A+B的一个最小上界,
故sup(A+B)=supA+supB.
（2） 下界同理可得.
完全按照确界的定义来证明.