在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时

Question

在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记(AC)/(BC)=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）

Answer 1

（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵EF⊥AE，BC⊥AC，
∴EF∥MP∥CB，
∴(EM)/(MC)=(FP)/(PB)，
∵点P是BF的中点，
∴EM=MC，
又∵PM⊥CE，
∴PC=PE．

（2）如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，

∠DAF=∠EAF

∠FDA=∠FEA

AF=AF

，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，
在△DAP和△EAP中，

AD=AE

∠DAP=∠EAP

AP=AP

，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴(DM)/(MC)=(FP)/(PB)，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，
又∵PD=PE，
∴PC=PE．

（3）如图4，，
∵△CPE总是等边三角形，
∴将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形，
∵∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，
∴点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上，
∵△CPE是等边三角形，
∴∠CPE=60°，
根据圆周角定理，可得
∠CBE=(1)/(2)∠CPE=(1)/(2)×60°=30°，
即∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，
∵(AC)/(BC)=k，(AC)/(BC)=tan30°，
∴k=tan30°=(√(3))/(3)，
∴当k为(√(3))/(3)时，△CPE总是等边三角形．