已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c

Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x²＜e^x．
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（ III）对任意给定的正数c，取x₀=(4)/(√(c))＞0，
由（ II）知，当x＞0时，e^x＞x²，
∴ex＝e(x)/(2)•e(x)/(2)＞((x)/(2))2•((x)/(2))2，
当x＞x₀时，ex＝e(x)/(2)•e(x)/(2)＞((x)/(2))2•((x)/(2))2＞(4)/(c)•((x)/(2))2＝(x2)/(c)，
因此，对任意给定的正数c，总存在x₀，当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²＜ce^x．