当x趋向于0时,求f(x)=(a^x-a^sinx)/x^3的极限.我算的是0,求大神指教,

Question

当x趋向于0时,求f(x)=(a^x-a^sinx)/x^3的极限.我算的是0,求大神指教,

Answer 1

直接用洛必达比较麻烦
lim[x→0] (a^x-a^sinx)/x³
=lim[x→0] a^sinx[a^(x-sinx)-1]/x³
=lim[x→0] a^sinx[e^[(x-sinx)lna]-1]/x³
e^[(x-sinx)lna]-1的等价无穷小是(x-sinx)lna
=lim[x→0] a^sinx[(x-sinx)lna]/x³
=lnalim[x→0] a^sinx lim[x→0] (x-sinx)/x³
=lnalim[x→0] (x-sinx)/x³
洛必达
=lnalim[x→0] (1-cosx)/(3x²)
=(1/6)lna
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