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(2014•天津)设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)证明:x2x1随着a的减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.
题目详情
(2014•天津)设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:
随着a的减小而增大;
(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:
x2 |
x1 |
(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=x-aex,∴f′(x)=1-aex;
下面分两种情况讨论:
①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;
②a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)的单调增区间是(-∞,-lna),减区间是(-lna,+∞);
∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:
(i)f(-lna)>0,(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0,(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0;
由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1;
取s1=0,满足s1∈(-∞,-lna),且f(s1)=-a<0,
取s2=
+ln
,满足s2∈(-lna,+∞),且f(s2)=(
-e
)+(ln
-e
)<0;
∴a的取值范围是(0,e-1).
(Ⅱ)证明:由f(x)=x-aex=0,得a=
,设g(x)=
,由g′(x)=
,得g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
并且,当x∈(-∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,
x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e-1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);
对于任意的a1、a2∈(0,e-1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=ai,其中0<X1<1<X2;
g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;
∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(Xi)>g(Yi),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;
又由X、Y>0,得
<
<
;∴
随着a的减小而增大;
(Ⅲ)证明:∵x1=aex1,x2=aex2,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln
下面分两种情况讨论:
①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;
②a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-lna) | -lna | (-lna,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - |
f(x) | 递增 | 极大值-lna-1 | 递减 |
∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:
(i)f(-lna)>0,(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0,(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0;
由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1;
取s1=0,满足s1∈(-∞,-lna),且f(s1)=-a<0,
取s2=
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
∴a的取值范围是(0,e-1).
(Ⅱ)证明:由f(x)=x-aex=0,得a=
x |
ex |
x |
ex |
1-x |
ex |
并且,当x∈(-∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,
x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e-1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);
对于任意的a1、a2∈(0,e-1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=ai,其中0<X1<1<X2;
g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;
∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(Xi)>g(Yi),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;
又由X、Y>0,得
X2 |
X1 |
Y2 |
X1 |
Y2 |
Y1 |
x2 |
x1 |
(Ⅲ)证明:∵x1=aex1,x2=aex2,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln
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