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(2014•濮阳二模)已知函数f(x)=(1-x)ex-1.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设g(x)=f(x)x,x>-1且x≠0,证明:g(x)<1.
题目详情
(2014•濮阳二模)已知函数f(x)=(1-x)ex-1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设g(x)=
,x>-1且x≠0,证明:g(x)<1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)设g(x)=
f(x) |
x |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f′(x)=-xex.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的最大值为f(0)=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1.
当-1<x<0时,g(x)<1等价于设f(x)>x.
设h(x)=f(x)-x,
则h′(x)=-xex-1.
当x∈(-1,-0)时,0<-x<1,0<ex<1,
则0<-xex<1,
从而当x∈(-1,0)时,h′(x)<0,h(x)在(-1,0]单调递减.
当-1<x<0时,h(x)>h(0)=0,
即g(x)<1.
综上,总有g(x)<1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的最大值为f(0)=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1.
当-1<x<0时,g(x)<1等价于设f(x)>x.
设h(x)=f(x)-x,
则h′(x)=-xex-1.
当x∈(-1,-0)时,0<-x<1,0<ex<1,
则0<-xex<1,
从而当x∈(-1,0)时,h′(x)<0,h(x)在(-1,0]单调递减.
当-1<x<0时,h(x)>h(0)=0,
即g(x)<1.
综上,总有g(x)<1.
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