已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，32）∪（32

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，(3)/(2)）∪（(3)/(2)，+∞），求c的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³+ax²+b，
∴f′（x）=3x²+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0或-(2a)/(3)．
a=0时，f′（x）>0，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
a>0时，x∈（-∞，-(2a)/(3)）∪（0，+∞）时，f′（x）>0，x∈（-(2a)/(3)，0）时，f′（x）<0，
∴函数f（x）在（-∞，-(2a)/(3)），（0，+∞）上单调递增，在（-(2a)/(3)，0）上单调递减；
a<0时，x∈（-∞，0）∪（-(2a)/(3)，+∞）时，f′（x）>0，x∈（0，-(2a)/(3)）时，f′（x）<0，
∴函数f（x）在（-∞，0），（-(2a)/(3)，+∞）上单调递增，在（0，-(2a)/(3)）上单调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（-(2a)/(3)）=(4)/(27)a3+b，
则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）>0，且f（-(2a)/(3)）<0，
∴b>0且(4)/(27)a3+b<0，
∵b=c-a，
∴a>0时，(4)/(27)a3-a+c>0或a<0时，(4)/(27)a3-a+c<0．
设g（a）=(4)/(27)a3-a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，(3)/(2)）∪（(3)/(2)，+∞），
∴在（-∞，-3）上，g（a）<0且在（1，(3)/(2)）∪（(3)/(2)，+∞）上g（a）>0均恒成立，
∴g（-3）=c-1≤0，且g（(3)/(2)）=c-1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x³+ax²+1-a=（x+1）[x²+（a-1）x+1-a]，
∵函数有三个零点，
∴x²+（a-1）x+1-a=0有两个异于-1的不等实根，
∴△=（a-1）²-4（1-a）>0，且（-1）²-（a-1）+1-a≠0，
解得a∈（-∞，-3）∪（1，(3)/(2)）∪（(3)/(2)，+∞），
综上c=1．