设u=u（x，y，z）具有二阶连续的偏导数，且满足∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2＝x2+y2+z2，又设S为曲面x2+y2+z2=2az（a＞0），取其外侧∬S∂u∂xdydz+∂u∂ydzdx+∂u∂zdxdy=51275πa551275πa5．

Question

设u=u（x，y，z）具有二阶连续的偏导数，且满足(∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)+(∂2u)/(∂z2)＝x2+y2+z2，又设S为曲面x²+y²+z²=2az（a＞0），取其外侧

∬

S

(∂u)/(∂x)dydz+(∂u)/(∂y)dzdx+(∂u)/(∂z)dxdy=

(512)/(75)πa⁵

(512)/(75)πa⁵

．

Answer 1

S：x²+y²+（z-a）²=a²，记内部区域为Ω．
Ω＝{(r，θ，φ)|0≤θ≤2π，0≤φ≤(π)/(2)，0≤r≤2acosφ}
则由高斯公式，得
原式=

∭

Ω

((∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)+(∂2u)/(∂z2))dxdydz
=

∫∫∫

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz
=

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

sinφdφ

∫

2acosφ 0

r2•r2dr
=(512)/(75)πa5