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(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.

题目详情
(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为______.
▼优质解答
答案和解析
由y=f(x)-a|x-1|=0得f(x)=a|x-1|,
作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x-1|的图象,
当a≤0,不满足条件,
则a>0,此时g(x)=a|x-1|=
a(x−1)x≥1
−a(x−1)x<1

当-3<x<0时,f(x)=-x2-3x,g(x)=-a(x-1),
当直线和抛物线相切时,有三个零点,
此时-x2-3x=-a(x-1),
即x2+(3-a)x+a=0,
则由△=(3-a)2-4a=0,即a2-10a+9=0,解得a=1或a=9,
当a=9时,g(x)=-9(x-1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,
要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,
若a>1,此时g(x)=-a(x-1)与f(x),有两个交点,
此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,
即x2+3x=a(x-1),整理得x2+(3-a)x+a=0,
则由△=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,
综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),
故答案为:(0,1)∪(9,+∞)