已知函数f（x）=ex-x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥-x2+x．

Question

已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知

f(0)=1+a=0

f′(0)=1=b

⇒

a=-1

b=1

，f（x）=e^x-x²-1．
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（-∞，0）时，φ'（x）<0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）>0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x²+x．