设函数y=y（x）在（-∞，+∞）内具有二阶导数，且y′（x）≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数．（Ⅰ）将x=x（y）所满足的微分方程d2xdy2+（y+sinx）(dxdy)3=0变换为y=y（x）满足的微分方程；（Ⅱ）

Question

设函数y=y（x）在（-∞，+∞）内具有二阶导数，且y′（x）≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数．
（Ⅰ）将x=x（y）所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+（y+sinx）((dx)/(dy))3=0变换为y=y（x）满足的微分方程；
（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y′（0）=(3)/(2)的解．

Answer 1

（1）由反函数的求导公式知 (dx)/(dy)＝(1)/(y′)，于是有
(d2x)/(dy2)＝(d)/(dy)((dx)/(dy))=(d)/(dx)((1)/(y′))•(dx)/(dy)=(−y″)/(y′2)•(1)/(y′)＝−(y″)/((y′)3)．
代入原微分方程得y″-y=sinx．（*）
（2）方程（*）所对应的齐次方程y″-y=0的特征方程为λ²-1=0，
特征值为 λ_1，2 =±1，
通解为Y＝C1ex+C2e−x．
因为方程（*）的非齐次项为f（x）=sinx=e⁰sinx，且 i不是特征根，
故设方程（*）的特解为y^*=Acosx+Bsinx，
代入方程（*），求得A＝0，B＝−(1)/(2)，
故y*＝−(1)/(2)sinx，
从而y″-y=sinx的通解是
y＝Y+y*＝C1ex+C2e−x−(1)/(2)sinx．
由y(0)＝0，y′(0)＝(3)/(2)，得C₁=1，C₂=-1．
故所求初值问题的解为y＝ex−e−x−(1)/(2)sinx．