在平面直角坐标系XOY中,若直线Y=KX+1与曲线Y=│x+1/x│-│x-1/x│有四个公共点,则实数k的取值范围是?

Question

在平面直角坐标系XOY中,若直线Y=KX+1与曲线Y=│x+1/x│-│x-1/x│有四个公共点,则实数k的取值范围是?

Answer 1

这题目一步一步来：

1#  去绝对值

x>0 时 x+1/x>0 ; x<0  时  x+1/x<0

x≥1 或 -1≤x<0  时,x-1/x ≥ 0

x -1 或 0<x<1 时,x-1/x<0

所以曲线分成四段:(注意,不含原点）

   1&     x≥1,   Y=│x+1/x│-│x-1/x│ = 2/x

   2&     0<x<1  Y=│x+1/x│-│x-1/x│=2x

   3&     -1≤x<0   Y=│x+1/x│-│x-1/x│=-2x

   4$      x<-1            Y=│x+1/x│-│x-1/x│ = -2/x

 

2# 数形结合,上图

 

y=0时, 4个交点(这就是双曲线的渐近线!）

若 y =kx+1 与 y=2/x 相切,可知 k = -1/8,切点横坐标也满足x≥1

此时有 4个交点

若 y =kx+1 与 y= -2/x 相切,可知 k = 1/8,切点横坐标也满足x≤-1

此时有 4个交点

 

k∈(-∞,-1/8)∪(1/8,+∞) 时,与双曲线一支没有交点,总交点个数小于4

 

注意 k∈(-1/8,1/8)且k≠0 时,与一侧的双曲线有2个交点,总交点个数是5!也不可行

 

综上 ,k=±1/8 或 0