已知x、y是互不相等的自然数,当1/6=1/x+1/y,求x+y的所有解.

Question

已知x、y是互不相等的自然数,当1/6=1/x+1/y,求x+y的所有解.

Answer 1

1/6=1/x+1/y,
若要x、y是互不相等的自然数,则显然x和y都大于6
把式子通分就得到：xy=6x+6y,
再进行因式分(x-6)(y-6)=36
因为x和y都是大于6的自然数,所以x-6和y-6也都是自然数
而36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6
所以现在有如下可能：（x和y可交换）
1、x-6=1,y-6=36； 解得x=7,y=42
2、x-6=2,y-6=18； 解得x=8,y=24
3、x-6=3,y-6=12； 解得x=9,y=18
4、x-6=4,y-6=9； 解得x=10,y=15
5、x-6=6,y-6=6； 解得x=12,y=12
而x、y是互不相等的自然数,所以x=12,y=12这个解要舍去,
于是
x+y可以等于
7+42=49
8+24=32
9+18=27
10+15=25
就这四组解