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(2014•苏州)如图,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,-3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连
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(2014•苏州)如图,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,-3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的代数式表示a;
(2)求证:
为定值;
(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)用含m的代数式表示a;
(2)求证:
AD |
AE |
(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将C(0,-3)代入二次函数y=a(x2-2mx-3m2),
则-3=a(0-0-3m2),
解得 a=
.
(2)证明:如图1,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N.
由a(x2-2mx-3m2)=0,
解得 x1=-m,x2=3m,
则 A(-m,0),B(3m,0).
∵CD∥AB,
∴D点的纵坐标为-3,
又∵D点在抛物线上,
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为(2m,-3).
∵AB平分∠DAE,
∴∠DAM=∠EAN,
∵∠DMA=∠ENA=90°,
∴△ADM∽△AEN.
∴
=
=
.
设E坐标为(x,
(x2−2mx−3m2)),
∴
=
,
∴x=4m,
∴E(4m,5),
∵AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,
∴
=
=
,即为定值.
(3)如图2,记二次函数图象顶点为F,则F的坐标为(m,-4),过点F作FH⊥x轴于点H.
连接FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.
∵tan∠CGO=
,tan∠FGH=
,
∴
=
,
∴OG=3m.
∵GF=
=
=4
则-3=a(0-0-3m2),
解得 a=
1 |
m2 |
(2)证明:如图1,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N.
由a(x2-2mx-3m2)=0,
解得 x1=-m,x2=3m,
则 A(-m,0),B(3m,0).
∵CD∥AB,
∴D点的纵坐标为-3,
又∵D点在抛物线上,
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为(2m,-3).
∵AB平分∠DAE,
∴∠DAM=∠EAN,
∵∠DMA=∠ENA=90°,
∴△ADM∽△AEN.
∴
AD |
AE |
AM |
AN |
DM |
EN |
设E坐标为(x,
1 |
m2 |
∴
3 | ||
|
3m |
x−(−m) |
∴x=4m,
∴E(4m,5),
∵AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,
∴
AD |
AE |
AM |
AN |
3 |
5 |
(3)如图2,记二次函数图象顶点为F,则F的坐标为(m,-4),过点F作FH⊥x轴于点H.
连接FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.
∵tan∠CGO=
OC |
OG |
HF |
HG |
∴
OC |
OG |
HF |
HG |
∴OG=3m.
∵GF=
GH2+HF2 |
16m2+16 |
作业搜用户
2016-12-09
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