设x，y∈R，则（3-4y-cosx）2+（4+3y+sinx）2的最小值为．

Question

设x，y∈R，则（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值为______．

Answer 1

∵（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²=(√([(3−4y)−cosx]2+[(4+3y)−(−sinx)]2))2，
类比两点间的距离公式|AB|=√((x1−x2)2+(y1−y2)2)，
而且3（3-4y）+4（4+3y）-25=0，
∴所求的式子为直线3x+4y-25=0上的一点到圆x²+y²=1上的一点的距离的平方，
画图可知，过原点O（0，0）作3x+4y-25=0的垂线段，垂直为P，|OP|═(|3×0+4×0−25|)/(√(32+42))=5，
OP与圆的交点分别为M、N，
显然，（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值为|PM|²=（|OP|-|OM|）²=（|OP|-1）²=16．
故答案为：16．