已知x−y+2≥0x+y−4≥02x−y−5≤0求：（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；（Ⅱ）z=x2+y2-10y+25的最小值；（Ⅲ）z=2y+1x+1的范围．

Question

已知

x−y+2≥0

x+y−4≥0

2x−y−5≤0

求：
（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（Ⅲ）z=(2y+1)/(x+1)的范围．

Answer 1

（Ⅰ）作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．
易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，
将点C（7，9）代入z得最大值为21．（红线部分）
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，
过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z的最小值是|MN|²=(9)/(2)．（绿线部分）
（Ⅲ）z=(2y+1)/(x+1)=2•(y+(1)/(2))/(x+1)的几何意义表示为区域内的动点P（x，y）与定点D（-1，−(1)/(2)）连线斜率的2倍．
由图象可知DA的斜率最小为k=(7)/(4)，DB的斜率最大为k=(3)/(8)，
即(3)/(8)≤k≤(7)/(4)，
即(3)/(4)≤2k≤(7)/(2)，（蓝色线部分）
即z的取值范围是[(3)/(4)，(7)/(2)]．