计算行列式xaa……a,axa……a,aax……a,…………,aaa……x（x不等于a）.还有这类行列式计算有什么规律也说下.

Question

计算行列式
x a a……a,a x a……a,a a x……a,…………,a a a……x（x不等于a）.还有这类行列式计算有什么规律也说下.

Answer 1

把原行列式第1行乘以(-1)加到第2、3、……、n行,得
x a a …… a
a - x x - a 0 …… 0
a - x 0 x - a …… 0
……………………………
a - x 0 0 …… x- a
再把第2、3、……、n列全加到第1列,得
x+(n-1)a a a …… a
0 x - a 0 …… 0
0 0 x - a …… 0
………………………………
0 0 0 …… x- a
∴原行列式 = [x+(n-1)a] (x-a)^(n-1)
另外,运用这种方法同样可解这类行列式
x1 a a …… a
a x2 a …… a
a a x3 …… a = 【1 + a*Σ[1/(xi - a)]】*Π(xi - a)
……………………… （其中,i由1→n）
a a a …… xn