已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．

Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为___．

Answer 1

∵（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，a=3，
∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(1)/(2)，
∵A∈（0，π），∴A=(π)/(3)．
∴b²+c²=9+bc≥2bc，化为bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．
∴S_△ABC=(1)/(2)bcsinA≤(1)/(2)×9×sin(π)/(3)=(9√(3))/(4)．
故最大值为：(9√(3))/(4)．