若|a|＜1,|b|＜1.求证：|（a+b）/（1+ab）|＜1

Question

若|a|＜1,|b|＜1.求证：|（a+b）/（1+ab）|＜1

Answer 1

证：∵ |a|＜1,|b|＜1
∴ a²＜1,b²＜1
1－a²＞0,1－b²＞0
(1－a²)(1－b²)＞0
a²b²－a²－b²＋1＞0
a²b²＋1＞a²＋b²
a²b²＋2ab＋1＞a²＋2ab＋b²
﹙1＋ab﹚²＞﹙a＋b﹚²
|1＋ab|＞|a＋b|
|（a+b）/（1+ab）|＜1
证毕.