在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=23，a+b=6，且acosB+bcosAc=2cosC，则c=．

Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S_△ABC=2 √(3)，a+b=6，且 (acosB+bcosA)/(c)=2cosC，则c=___．

Answer 1

由(acosB+bcosA)/(c)=2cosC得，acosB+bcosA=2ccosC，
在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=(1)/(2)，
由0<C<π得，C=(π)/(3)，
由S_△ABC=2√(3)得，(1)/(2)absinC=2√(3)，得ab=8，
∵a+b=6，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-2abcosC=36-16-8=12，
解得c=2√(3)，
故答案为：2√(3)．