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在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若S△ABC=23,a+b=6,且acosB+bcosAc=2cosC,则c=.
题目详情
在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若S△ABC=2
,a+b=6,且
=2cosC,则c=___.
| 3 |
acosB+bcosA |
c |
▼优质解答
答案和解析
由
=2cosC得,acosB+bcosA=2ccosC,
在△ABC中,由正弦定理得:sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,
∴sin(A+B)=2sinCcosC,
∵A+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC=2sinCcosC,
∵sinC≠0,∴cosC=
,
由0<C<π得,C=
,
由S△ABC=2
得,
absinC=2
,得ab=8,
∵a+b=6,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC
=(a+b)2-2ab-2abcosC=36-16-8=12,
解得c=2
,
故答案为:2
.
acosB+bcosA |
c |
在△ABC中,由正弦定理得:sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,
∴sin(A+B)=2sinCcosC,
∵A+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC=2sinCcosC,
∵sinC≠0,∴cosC=
1 |
2 |
由0<C<π得,C=
π |
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由S△ABC=2
3 |
1 |
2 |
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∵a+b=6,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC
=(a+b)2-2ab-2abcosC=36-16-8=12,
解得c=2
3 |
故答案为:2
3 |
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