A,B分别是s*n,n*t的矩阵,证明：r(AB)>=r(A)+r(B)-n至少让我看懂）但如何证明r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)怎么不等号反向了？

Question

A,B分别是s*n,n*t的矩阵,证明：r(AB)>=r(A)+r(B)-n 至少让我看懂）
但如何证明 r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
怎么不等号反向了？

Answer 1

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
解释:
同一个矩阵的秩经过初等变换后是不变的.
所以第一个矩阵的秩=最后一个矩阵的秩
第一个矩阵的秩r(AB)+n
最后一个矩阵的秩总是不小于r(A)+r(B)(如果右下角的块是0矩阵的话,就是等于r(A)+r(B),但是多了一个右下角的单位阵,那么秩只能是边多,至少不会变少)
所以最后一个矩阵的秩总是小于等于r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)